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散布度


散布度とは、分布の広がりの程度を表す量の総称である。

・情報量(名義尺度)
■ 生起確率が大きければ小さくなり、生起確率が小さければ大きくなる。
Ｈ＝−(シグマ)ＰｉlogＰｉ　(Ｐｉはクラスｉの相対頻度)

・範囲(順序尺度、間隔尺度、比率尺度)
■ 観測値の最大値と最小値の差で定義される。
範囲の性質として、極端な値に強く影響されること、観測値の個数が増加すれば範囲の値も大きくなる傾向があること、標本ごとの変動も大きいことがあるため、散布度としては必ずしもふさわしいものではない。

・四分位偏差(順序尺度、間隔尺度、比率尺度)
■ 得点の小さいほうから25％の値をＱ1(第１四分位数)、大きいほうから25％の値をＱ3(第３四分位数)としてＱ＝1/2(Ｑ3−Ｑ1)と定義される。
中央値と同様にデータ中の極端に大きいまたは小さい値の影響を受けにくく、分布が偏ってる場合の散布度として適切である。

・四分位範囲(順序尺度、間隔尺度、比率尺度)
■ 第３四分位(Ｑ3)から第１四分位(Ｑ1)を引いた値のこと。
ＱR＝Ｑ3−Ｑ1

・分散(標本分散)(間隔尺度、比率尺度)
■ 散布度の１つで、分布の広がりの程度を表す指標。
平均が[x-]であるn個の観測値の分散は、
S2(x)=1/n(xi-[x-])2
と定義される。

・不偏分散(間隔尺度、比率尺度)
■ 母集団に対する偏りのない、すなわちその期待値が母集団分散に一致する推定量のこと。
たとえば未知の分散σ2(シグマ二乗)をもつ母集団から無作為抽出によって得られたn個の観測値xiがあるとするとσ2(シグマ二乗)に対する不偏分散Ｕ2(x)は
U2(x)=1/n-1(xi-[x-])2
と定義される。
標本分散Ｓ2(x)とＵ2(x)は
U2(x)=1/n-1S2(x)>S2(x)
(不偏分散のほうが標本分布よりも大きい)
という関係にある。
標本数nが大きいときはどちらを使ってもよいが、ある特定の集団の分布を記述したいときはそれを母集団とみなすことが可能であり、またそのようなときは標本の大きさnが小さいのが普通であるため、Ｓ2(x)を用いる。
不偏分散は、あくまでも母分散を推定したいときに用いる。

・標準偏差(間隔尺度、比率尺度)
■ 散布度の１つで、観測値と同じ単位で分布の広がりの程度を表したいときに用いられる。
平均が[x-]であるn個の観測値の標準偏差は
S(x)=√(1/n(xi-[x-])2)
と定義される。

・変動係数(比率尺度)
■ 散布度の１つで、変異係数とも呼ばれる。
標準偏差をＳ(x)、平均を[x-]とすると、CV=Ｓ(x)／[x-]で定義される。
変動係数を使えば、単位の選び方や平均の違いによる影響を受けずに、複数の分布の散布度の相対的な比較が可能となる。



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