正規分布

正規分布とは、数学的構造がきちんと定められた理論分布のことである。
理論的なモデルではあるが、実際にある程度の標本数をとると、調査・実験データが正規分布に近いことが多い。
また、非常に使いやすい、便利な性質を持っているため、しばしば使用されている。

＜特徴＞

１．	平均を中心に左右対称。歪度は0。
２．	平均と中央値が等しい(標準正規分布[平均0、標準偏差1の正規分布]の場合は、平均＝中央値＝0)。 ただし、最頻値は定義できない。 └→　正規分布は理論的なモデルであり、度数分布ではないので、最頻値は存在し得ない。
３．	平均や標準偏差が変わっても、分布の形は不変である。 したがって、どのような正規分布でも歪度は0、尖度は3である。
４．	平均と標準偏差がわかれば、任意の得点間の相対頻度(全体を１としたときの割合)が計算可能である。 μ(ミュー)からμ(ミュー)＋σ(シグマ)に入る相対頻度；0.3413 μ(ミュー)からμ(ミュー)＋２σ(シグマ)に入る相対頻度；0.4772 μ(ミュー)からμ(ミュー)＋３σ(シグマ)に入る相対頻度；0.4987 　↓ μ(ミュー)−σ(シグマ)からμ(ミュー)＋σ(シグマ)に入る相対頻度；0.6826 μ(ミュー)−２σ(シグマ)からμ(ミュー)＋２σ(シグマ)に入る相対頻度；0.9644 μ(ミュー)−３σ(シグマ)からμ(ミュー)＋３σ(シグマ)に入る相対頻度；0.9974 　↓ μ(ミュー)−1.96からμ(ミュー)＋1.96に入る相対頻度；0.95 μ(ミュー)−2.58からμ(ミュー)＋2.58に入る相対頻度；0.99

５．	線形変換を施しても、分布の形は変わらない。

・中心極限定理
■	「n個の変数(確率変数)が独立してある一定の平均μ(ミュー)、分散σ2(シグマ二乗)をもつ分布にしたがうとき、 n個の変数から１つずつ標本を抽出してその平均をとする。 nが大きいときの分布は平均μ(ミュー)、分散σ2(シグマ二乗)／nの正規分布したがう。 また、n個の標本の和ｘは平均nμ(ミュー)、分散nσ2(シグマ二乗)の正規分布にしたがう。」 この定理により、経験的な分布(無作為抽出でnが大きい分布)を正規分布とみなすことができる。